Wartość średnia

Wartość średnia (U_śr, I_śr) to średnia arytmetyczna wartości chwilowych napięcia lub prądu z pełnego okresu, równa składowej stałej przebiegu. Dla sinusoidy wynosi zero, dlatego w elektrotechnice podaje się też wartość średnią półokresową: 2·U_m/π ≈ 0,637·U_m.

---

Jaki jest wzór na wartość średnią?

Wartość średnią całookresową liczysz tak samo jak każdą średnią: sumujesz wszystkie wartości chwilowe z jednego okresu i dzielisz przez jego długość. Ponieważ wartości chwilowych jest nieskończenie wiele, sumowanie zastępuje całka.

U_śr = (1/T) · ∫ u(t) dt

• U_śr – wartość średnia napięcia, w woltach (V)
• T – okres przebiegu, w sekundach (s); przy 50 Hz to 20 ms
• u(t) – wartość chwilowa napięcia, którą sumujesz po całym okresie, w woltach (V)
• ∫ … dt – całka po jednym pełnym okresie, czyli pole pod wykresem przebiegu

Łatwiej to zobaczyć na wykresie. Pole nad osią czasu liczysz na plus, pole pod osią na minus, a różnicę dzielisz przez okres. Wynik to wysokość poziomej linii, która zakreśla w tym samym czasie identyczne pole. Taka linia to właśnie składowa stała, wokół której przebieg się waha.

Dla prądu ten rachunek ma bardzo konkretny sens fizyczny. Iloczyn prądu średniego i czasu daje ładunek, który przepłynął przez przewód. Prąd średni 2 A przez godzinę oznacza 2 Ah niezależnie od tego, czy płynął równo, czy w impulsach. Dla napięcia z akumulatora albo zasilacza stabilizowanego, które nie zmienia się w czasie, wartość średnia jest po prostu równa napięciu stałemu.

Dlaczego średnia z sinusoidy wynosi zero?

Sinusoida jest symetryczna względem osi czasu. Dodatnia półfala zakreśla dokładnie takie samo pole jak ujemna, więc po zsumowaniu zostaje zero. Przebieg o zerowej wartości średniej całookresowej nazywa się prądem przemiennym i właśnie takie napięcie dostarcza sieć 230 V.

Zero nic nie mówi o tym, jak duży jest przebieg, więc do opisu sinusoidy wprowadzono wartość średnią półokresową, zwaną też średnią wyprostowaną. Liczy się ją z jednej półfali albo, co daje ten sam wynik, z wartości bezwzględnej przebiegu z całego okresu:

U_śr = 2 · U_m / π ≈ 0,637 · U_m

• U_śr – wartość średnia półokresowa, w woltach (V)
• U_m – amplituda, czyli szczytowe napięcie chwilowe, w woltach (V)
• π ≈ 3,14 – stała wynikająca z całkowania funkcji sinus po półokresie

Dla sieci 230 V amplituda wynosi około 325 V, więc średnia półokresowa to około 207 V. Dla prądu 16 A (wartość skuteczna) amplituda to 22,6 A, a średnia półokresowa około 14,4 A. Wartość średnia półokresowa nigdy nie przekracza wartości skutecznej; dla sinusoidy iloraz tych dwóch liczb wynosi 1,11 i to on wyjaśnia, jak działa prosty miernik uśredniający.

Ile wynosi napięcie średnie za prostownikiem?

Prostownik przepuszcza prąd tylko w jedną stronę, więc ujemne pola przestają się odejmować i średnia rośnie powyżej zera. To najczęstsze miejsce, w którym elektryk ma do czynienia z wartością średnią. Tabela podaje wartości dla idealnych diod i obciążenia rezystancyjnego, bez kondensatora wygładzającego.

Przebieg	Wzór na wartość średnią	Wynik dla sieci 230 V lub 400 V
Sinusoida bez prostowania	0	0 V
Prostownik jednopołówkowy (jedna dioda)	Um / π ≈ 0,318 · Um	około 104 V
Prostownik dwupołówkowy (mostek Graetza)	2 · Um / π ≈ 0,637 · Um	około 207 V
Mostek trójfazowy sześciopulsowy	≈ 1,35 · Up (napięcie międzyfazowe)	około 540 V z sieci 400 V
Przebieg prostokątny PWM o wypełnieniu D	D · Um	np. 6 V przy 24 V i D = 0,25

Po dodaniu kondensatora filtrującego napięcie przestaje opadać do zera między półfalami, a jego średnia zbliża się do amplitudy. Dlatego zasilacz z mostkiem i dużym kondensatorem na sieci 230 V daje na wyjściu nawet około 320 V przy małym obciążeniu, a nie 207 V. Z kolei sterowanie PWM wykorzystuje wartość średnią celowo: zmieniając wypełnienie impulsów, regulujesz jasność taśmy LED albo prędkość silnika prądu stałego.

Gdzie w instalacji liczy się wartość średnia?

Diody i ładowanie. W katalogu diody prostowniczej znajdziesz prąd przewodzenia podany jako średni, oznaczany I_F(AV). Napięcie na przewodzącej diodzie prawie nie zależy od prądu, więc jej straty mocy liczy się jako iloczyn tego napięcia i prądu średniego. Ten sam prąd średni decyduje o tym, ile ładunku trafi do akumulatora albo ile metalu osadzi się w wannie galwanicznej.

Wyłączniki różnicowoprądowe. Odbiorniki z prostownikami, takie jak pralki z falownikiem, ładowarki samochodów elektrycznych (EV) czy falowniki fotowoltaiczne (PV), mogą przy uszkodzeniu izolacji wytworzyć prąd różnicowy o średniej różnej od zera. Wyłącznik różnicowoprądowy typu AC reaguje tylko na sinusoidę, typ A także na pulsujący prąd jednokierunkowy, a typ B również na gładki prąd stały. Wymagania dla punktów ładowania EV podaje arkusz PN-HD 60364-7-722.

Bardzo niskie napięcie. Norma PN-HD 60364-4-41 dopuszcza w obwodach SELV do 120 V napięcia stałego bez tętnień. Za takie uznaje się napięcie, w którym wartość skuteczna tętnień nie przekracza 10% składowej stałej, czyli wartości średniej. Z tej samej wielkości korzysta pojęcie mocy czynnej, która jest wartością średnią mocy chwilowej z jednego okresu.

Na egzaminie SEP grupy 1 może pojawić się pytanie o napięcie za prostownikiem albo o to, dlaczego wartość średnia sinusoidy wynosi zero. Zapamiętaj trzy liczby dla sieci 230 V: 325 V szczytu, 230 V wartości skutecznej i 207 V średniej półokresowej.

Najczęściej zadawane pytania